-8 -4$\sqrt{-1}$ এর বর্গমূল কত?

একটি জটিল সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয়ের জন্য আমরা সাধারণত নিম্নলিখিত পদ্ধতি ব্যবহার করি।

ধরা যাক, \(-8 - 4\sqrt{-1}\) এর বর্গমূল হলো \(x + iy\)।

আমরা জানি, \(\sqrt{-1} = i\)।

সুতরাং, প্রদত্ত জটিল সংখ্যাটি হলো \(-8 - 4i\)।

আমরা লিখতে পারি:

\((x + iy)^2 = -8 - 4i\)

বামপক্ষকে প্রসারিত করে পাই:

\(x^2 + 2ixy + (iy)^2 = -8 - 4i\)

\(x^2 + 2ixy - y^2 = -8 - 4i\)

\((x^2 - y^2) + i(2xy) = -8 - 4i\)

উভয় পক্ষের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশ তুলনা করে পাই:

১) \(x^2 - y^2 = -8\)

২) \(2xy = -4 \Rightarrow xy = -2\)

এছাড়াও আমরা জানি, \((x^2 + y^2)^2 = (x^2 - y^2)^2 + (2xy)^2\)

সুতরাং, \(x^2 + y^2 = \sqrt{(-8)^2 + (-4)^2}\)

\(x^2 + y^2 = \sqrt{64 + 16}\)

\(x^2 + y^2 = \sqrt{80}\)

৩) \(x^2 + y^2 = 4\sqrt{5}\)

এখন, সমীকরণ (১) এবং (৩) যোগ করে পাই:

\( (x^2 - y^2) + (x^2 + y^2) = -8 + 4\sqrt{5} \)

\(2x^2 = -8 + 4\sqrt{5}\)

\(x^2 = -4 + 2\sqrt{5}\)

এবং সমীকরণ (৩) থেকে সমীকরণ (১) বিয়োগ করে পাই:

\( (x^2 + y^2) - (x^2 - y^2) = 4\sqrt{5} - (-8) \)

\(2y^2 = 4\sqrt{5} + 8\)

\(y^2 = 4 + 2\sqrt{5}\)

যেহেতু \(x^2\) এবং \(y^2\) এর মানগুলো পূর্ণসংখ্যা বা সহজ মূলদ সংখ্যা নয়, তাই অপশনগুলো থেকে সরাসরি নির্ণয় করা কঠিন হতে পারে। কিন্তু, আমরা \(xy = -2\) থেকে জানি যে \(x\) এবং \(y\) এর চিহ্ন ভিন্ন হবে।

সুতরাং, \(\sqrt{-8 - 4i} = \pm (\sqrt{-4 + 2\sqrt{5}} - i\sqrt{4 + 2\sqrt{5}})\)

এখন, প্রদত্ত অপশনগুলো পরীক্ষা করে দেখা যাক:

    
•         অপশন ১: \(\pm (1+3i)\)
          \((1+3i)^2 = 1^2 + 2(1)(3i) + (3i)^2 = 1 + 6i + 9i^2 = 1 + 6i - 9 = -8 + 6i\)
          এটি \(-8 - 4i\) এর সমান নয়।     
    
•         অপশন ২: \(\pm (1-i)\)
          \((1-i)^2 = 1^2 - 2(1)(i) + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i\)
          এটি \(-8 - 4i\) এর সমান নয়।     
    
•         অপশন ৩: \(\pm (1+i)\)
          \((1+i)^2 = 1^2 + 2(1)(i) + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\)
          এটি \(-8 - 4i\) এর সমান নয়।     
    
•         অপশন ৪: \(\pm (1-3i)\)
          \((1-3i)^2 = 1^2 - 2(1)(3i) + (3i)^2 = 1 - 6i + 9i^2 = 1 - 6i - 9 = -8 - 6i\)
          এটি \(-8 - 4i\) এর সমান নয়।     

দেখা যাচ্ছে যে, প্রদত্ত জটিল সংখ্যা \(-8 - 4i\) এর বর্গমূল নির্ণয় করে যে মান পাওয়া গেছে (\(\pm (\sqrt{-4 + 2\sqrt{5}} - i\sqrt{4 + 2\sqrt{5}})\)), তা অপশনগুলোর মধ্যে নেই। অপশনগুলো পরীক্ষা করেও দেখা গেল যে, কোনো অপশনই প্রদত্ত সংখ্যার বর্গমূল নয়।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়। সম্ভবত প্রশ্নে অথবা অপশনগুলোতে কোনো ত্রুটি আছে। উদাহরণস্বরূপ, যদি প্রশ্নটি \(-8 - 6i\) এর বর্গমূল চাইত, তাহলে অপশন ৪ \(\pm (1-3i)\) সঠিক হত, কারণ \((1-3i)^2 = -8-6i\)।